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群论如实由好多不同类型的群组成，其中有五个基本群在表面上至极弥留，何况为融会更复杂的群结构提供了基础。为了证据每个群是如何构建的，咱们需要从对称性（symmetry）驱动。对称性是指一个物体在过程某些操作后仍保执不变的性质。
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以海星为例，每转72度，它看起来和之前疏导。为了引申这种观点，需要开发三个条目。
领先，识别物体中通盘相似的部分，并赋予它们一个编号。
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其次，尝试找出不错对该物体实施的操作，这些操作不错再行罗列编号的部分，同期占据疏导的空间。这些操作不错是旋转、翻转、平移或反射等。它们的共同本性是不会蜕变物体的举座步地或尺寸，仅仅再行罗列了物体的编号部分，并确保物体仍然占据疏导的空间。
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第三，列出通盘可能的组合。
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这在数学上不是很实用，是以移除矩形，只裸露凝视。
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这个图从护士“物体在空间中的特定罗列或状况”调度为护士操作。虚线箭头裸露的是垂直翻转，而实线暗示水平翻转。
咱们不错进一步简化它，不是用完整的短语，而是礼聘颜料和节点。这些非常被称为节点。的第一个节点是发轫节点，秀雅为N。
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箭头变成了线，诚然衰退箭头头部，咱们仍然称之为箭头。蓝色代表水平翻转，限度于B节点，红色代表垂直翻转，限度于R节点。咱们知说念，每次暗示关联时齐不会使用图表，推行上以代数方式抒发它。再次看图，发现RB等于BR，两者齐限度在RB节点。因此，更简单地暗示为RB=BR。
显著这是一个至极肤浅的例子，但这里有一个至极弥留的点，咱们刚才画的是一个群，它的可视化，更具体地称为克莱因4元群（Klein-4，记为V4）。趁机提一下，通盘的节点齐是它的元素，是以当咱们说N是V4的元素时，抒发为
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克莱因四元群属于阿贝尔群眷属（abelian groups），但在长远护士它们之前，咱们需要了解一个更基本的群眷属，称为轮回群（cyclic groups）。它们是最基本的，因为它们唯独旋转对称性，这意味着对轮回群只可作念一件事，那等于旋转它。
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轮回群频繁被定名为C_n，n是元素的数目或它们的阶。频繁咱们会给一个节点分派一个恒等元“零”，因为旋转一个有n个叶片的螺旋桨n次会回到发轫，这本质上等同于从未旋转过。
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因此，在代数上，C_5暗示为这么：
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每次旋转齐朝咱们礼聘的标的（不可是两个标的），
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在这个例子中，每个群的元素齐是通过反复加一世成的，但数字不会无穷增多，达到n后会回到零，这等于所谓的模加法（modular addition）。
若是用凯莱表（Cayley table）来暗示这少许，
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会了了地看到雷同2+3=0或4+3=2这么的情况。正如之前提到的，其他群族不错从轮回群构建而成。因此，为了融会这少许，咱们需方法会如安在其他类型的群中找到轮回群。
推敲这个图S_3，
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蓝色的箭头暗示旋转或r。若是从单元元素e驱动，会看到在外部描写出一个与C_3十足疏导的轨迹。这个术语称为r的轨说念，它们频繁像汇聚一样写在一齐。
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通盘的轮回群齐是阿贝尔群，这当然引出了阿贝尔群眷属。推行上，阿贝尔群不错从轮回群构建而成。阿贝尔群是指那些操作端正不足轻重的群。回念念一下咱们之前的V_4例子，若是R和B是阿贝尔群中的两个操作，那么操作R后再操作B，效果与先操作B再操作R疏导，这暗示为RB=BR。这个读作R与B可交换，因此阿贝尔群是可交换的。
这在视觉上可能不言而喻，但若是望望这两个至极相似的图，
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其中一个是D_4，另一个是C_2×C_4。仔细不雅察会发现，关于D_4，先蓝色再红色，和先红色再蓝色取得的节点不同，
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因此RB不等于BR，但另一个群则非常。
在凯莱表中它们也很容易识别，因为它们实在是彼此的镜像。
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若是你将表沿对角线对折，生意到的元素是疏导的。
轮回群只可展示旋转对称的物体。那么若是念念旋转它并将其翻转呢？有合乎这种情况的群吗？有的，这等于二面体群（Dihedral groups），它不错旋转和翻转。二面体群描写的物体也具有双边对称性，这意味着它们在反射时看起来疏导。它们频繁写稿D_n。
咱们在C_n中能作念的通盘操作也不错在D_n中进行，因为它波及旋转。但由于D允许翻转，因此D_n中的操作数目是C_n的两倍。在二面体群中，每种可能的旋转齐有一种可能的翻转。取一个等边三角形并给通盘的角编号，
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咱们不错旋转它，这至极于C_3的旋转，这个顺时针的旋转不错称为r，C_3副本等于r的轨说念。但咱们也不错通过翻转三角形取得另外三个位置，将总和栽培到六个。
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D_n图的外环是r的轨说念，是轮回群C_n的副本，它们顺时针旋转。内环亦然旋转，但为逆时针旋转。f操作畅通内环和外环。
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乘法表了了地裸露了这少许，咱们不错将其分为四个至极明确的象限。
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在这个D_5的例子中，不错称它们为“翻转”和“未翻转”。
到现在为止，咱们主要护士了步地，但若是念念要再行罗列群的元素会怎么？这些再行罗列属于咱们将护士的临了两个群族：对称群和轮换群。它们是构建群的圆善器具，因为它们孤高群的四个条目：
它们有一组预界说的永不蜕变的操作，
每个操作唯惟一种诠释，
一语气实施的一系列操作亦然一个操作，
何况每个罗列齐是不错逆转的。
还难忘之前提到的S_3吗？S代表对称，S_n代表n个事物的通盘罗列组成的群，或称为对称群。S3是咱们迄今遭受的唯一双称群，它很小，但跟着n的增大，它们变得愈加引东说念主刺眼。它们的范畴增长至极快，S_n中的n是阶乘。零碎S_5后，凯莱图表变得至极难以绘画。但S_4仍然不错很好地罗列。S_4有四个元素，是以有24种可能的罗列。红色箭头暗示罗列“2到4，4到3，3到2”，蓝色箭头暗示罗列“1到2，2到1”。
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尽管元素的汇聚不错造成一个群，但创建罗列群并不一定需要取通盘给定大小的罗列。仍然不错使用S_n的一部分罗列造成一个群。一种才能是通过轮换群，它只取S_n中一半的元素，但不是立地的一半。轮换群A_n由S_n中的偶罗列组成。举个例子，
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它展示了S_3中每个罗列在平常常的行径。当咱们对一个罗列平常常，推行上是将它一语气愚弄两次。“1”是恒等罗列“1 2 3”，或肤浅记作“id”。将其平时意味着id ○ id = id，因此效果是恒等元素。
接下来是两个元素的交换，举例交换元素1和2，平时它意味着
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这等于恒等元，因为交换两次会对消交换，因此它仍然是恒等元，是以它是一个奇罗列。2和3交换亦然相同的道理。
第五和第六行的罗列产生了两种不同的换位
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先“1 2”，再“2 3”，因此它是偶罗列。临了一个亦然偶罗列。因此，在6个可能的罗列中，咱们取得了三个，轮换群A_3。
在凯莱图中，轮换群的罗列是对称群罗列的一半。举例，轮换群A_4罗列在一个截顶四面体上，而这是S_4的截顶八面体的一半。
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这一切引出了凯莱定理，它指出，群论的通盘内容齐不错在罗列中找到。
凯莱定理（Cayley's Theorem）是群论中的一个弥留定理萝莉 胜利女神：nikke，标明每一个有限群齐同构于某个对称群的一个子群。换句话说，任何群齐不错通过某种方式暗示为对称群（即罗列群）的一个子群。这意味着每个群的元素不错看作是对一些汇聚的元素进行罗列的置换。
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